Roland Charnay Bibliography De Mariama Ba

En la educación formal, la actividad de aula o curricular se encuentra dentro de un contexto más amplio y abarcativo que es la Institución Escolar. Todo Proyecto Institucional parte de un problema, entendiéndose como tal una situación o aspecto que demande cambio. Para categorizar a una determinada situación social como un problema, se requiere un amplio trabajo de elaboración, destacando las situaciones que producen el conflicto o que preocupan a las partes, dándoles un orden de importancia, haciendo una adecuada descripción que no siempre son evidentes y por lo tanto requieren de elementos externos a la situación misma, ubicar lo más claro posible el interrogante, la duda, el inconveniente y luego resolver.

En el plano social este proceso implica operar sobre la realidad con la participación de todos los miembros del grupo en situación de resolver ese problema actuando con: preguntas, elaborando explicaciones, discutiendo propuestas, ofreciendo alternativas, planteando posibles soluciones y de ese modo tratar ejes significativos en torno a los cuales se habrá de actuar para lograr un resultado cierto que luego el mismo grupo pondrá en práctica para verificar la calidad de lo resuelto.

Un problema en matemática no es demasiado diferente a la descripción anterior dado que, no resultará a los objetivos del aprendizaje si no se parte del descubrimiento conjunto del mismo y de las necesidades propias del grupo. Ninguna situación alejada de la realidad propia de los grupos de investigación podrá lograr en los alumnos la necesaria ansiedad por resolverla. Es función del docente despertar en los niños la necesidad y el placer por intentar resolver situaciones matemáticas que no siempre son del marco de su realidad inmediata sino "también de su propia fantasía como niño".

En la escuela actual, la escuela de las competencias, los problemas adquieren una relevancia notable dada que "las competencias suponen, además de conocimientos o saberes, poder hacer. Una escuela que enseñe competencias debe estar pensada para que los alumnos aprendan a saber, pero también a hacer y a ser". En este contexto no se trata a un problema matemático como el simple enunciado de un texto que obliga a pensar un camino ya repetido en varias oportunidades para lograr un resultado que, en la mayoría de los casos, no refleja la propia cuestión planteada, sino que es el resultado de una situación no resuelta y que, con las herramientas propias de sus conocimientos, más la necesidad de incorporar otros, el grupo va resolviendo.

Pero, ¿qué es un problema?, ¿es un enunciado que conlleva una dificultad?, ¿sin enunciado no hay problema?, ¿para los problemas hay edad?, ¿las dificultades en la lectura generan dificultades en la interpretación?, ¿un enunciado es una descripción literal de los hechos?......Para responder a estos interrogantes y otros, que nos surgen frente a las exigencias de poner en práctica las situaciones problemáticas, podemos pensar que en 1983 L. Santaló escribía:

"...tomar en cuenta la matemática de la escuela tradicional que era propensa al estudio de situaciones concretas, haciendo hincapié en el cálculo, las operaciones y la repetición de consignas y situaciones y, la matemática de la escuela actual  que tiende a considerar situaciones más generales y variadas gracias a la capacidad de síntesis que le permiten unificar conceptos y a sus puntos de vista generales que le permiten adaptarse a campos más amplios e imprevistos. La matemática en la escuela actual exige un desarrollo más amplio en las relaciones y en las estructuras para permitir resolver con facilidad el mayor número de problemas posibles que se irán presentando a lo largo del proceso de enseñanza......"

Denominaremos, por lo tanto, "problema" a toda situación que enmarcada en las necesidades y los intereses pone en conflicto al otro, le genera dudas, lo obliga a poner en marcha todos los conocimientos adquiridos pero, en todos los casos, insuficientes y por consiguiente reconoce la necesidad de adquirir nuevos contenidos transformados en saberes adquiridos.

Por consiguiente, los problemas no tienen edades, sólo es necesario el conocimiento de la evolución de los niños para las formas que ellos requieren. En este sentido tiene la misma característica que la resolución de una ecuación en un adolescente o traer un vaso para cada chico de la mesa para un alumno de sala de 4 años del jardín.

Desde esta perspectiva, un problema tan viejo y conocido como "si  un ladrillo pesa un kilogramo más medio ladrillo, ¿cuánto pesa el ladrillo?", puede mantener su esencia pero, plantea distintas formas de resolución adecuadas al proceso cognitivo y, en consecuencia, las estrategias para solucionarlo serán distintas como también distinta su eficacia y hasta el contenido mismo.

Para empezar, es bueno tener en cuenta que "no hay problemas si no hay al menos dos soluciones que lleven a una única respuesta".  Por lo tanto, hay tantas formas de resolución como el grupo encuentre.vSin ir más lejos, la mismísima intuición es un buen intento, sólo que serán necesarias una validación y una justificación suficientemente ajustadas al rigor matemático propio de la edad y el nivel de trabajo.

Otra cuestión que no debe escapar a la atención del docente, es la vinculada con el uso del error: una solución o una simple propuesta, pueden no ser las correctas. Sin embargo, subyace en la propuesta del alumno un error que permitirá al docente iniciar un trabajo constructivo que lleve a buen puerto.

Ahora bien: tener en cuenta que todo vale, tanto para resolver como para iniciar la construcción hacia la solución, es el puntal de un trabajo centrado en los propios alumnos, en sus limitaciones y en sus logros.

Es también necesario tomar en cuenta la existencia de "problemas auxiliares" como aquellos en que ponemos atención o trabajo no por su causa, sino porque esperamos que tal atención o trabajo pueda ayudar a resolver el problema principal. Un problema auxiliar significa medios para un fin, otorgando acceso a la meta; el problema original es el fin y la meta.

"...Lograr el acceso a la solución de un problema aparentemente inaccesible por el planteo y la solución previa de un problema auxiliar apropiado es el tipo más característico de acción inteligente...Puede que el problema alternativo de nada sirva a la solución del problema original pero con permanentes preguntas cuestionadores la analogía entre situaciones puede resultar interesante y útil..." (G. Polya).

Ese problema alternativo o auxiliar, no debe ser tal que convierta al original en obvio. Justamente, la intervención docente será en este caso el detalle preciso que diferenciará una simple respuesta de la constructiva solución.

Pero volvamos al punto de partida: la obtención de alimentos no es en sí misma un problema. Somos personas de una determinada ciudad y por lo tanto si tengo hambre, como lo que hay en el lugar, o salgo a recorrer la ciudad para comprarme el alimento deseado. Sin embargo, si en casa no hay que comer, si la heladera está vacía, si no tengo dinero para comprar el alimento, la solución al hambre se convierte en un problema. Por lo tanto un deseo se puede convertir en un problema. Si el deseo trae de inmediato a mi mente, sin dificultad, alguna acción que posiblemente alcance el propósito deseado, no hay tal problema. Por lo tanto, tener un problema significa: buscar conscientemente alguna acción apropiada para lograr un propósito claramente concebido, pero no inmediatamente alcanzable. Resolver un problema significa descubrir esa acción.

Puede haber, entonces, un pequeño problema o un gran problema según el grado de evidencia de su resolución. Pero, siempre hay cierto grado de dificultad en la verdadera noción de problema: si no hay dificultad no hay problema.

Entonces, para que haya un problema en el aula, debe haber una dificultad planteada desde alguno de los actores, debe existir un reconocimiento de esa dificultad y el deseo o la necesidad de ser resuelto y, además, existir el o los conocimientos necesarios para intentar una solución. Estos conocimientos, en la escuela llegan a través de los contenidos previos, significativos pero muchas veces insuficientes. Es entonces cuando el problema adquiere mayor dimensión, dado que su resolución dependerá de nuevas herramientas o saberes adquiridos a través del desarrollo de nuevos contenidos.

La mayor parte de nuestro pensamiento conciente se relaciona con problemas. Cuando no nos dominan meditaciones vacías de contenido, nuestros pensamientos van hacia algún fin: ese es el esfuerzo intelectual por encontrar el camino y medios para alcanzarlo, tratando de hallar algún método o crear algún modelo que nos permita lograr el propósito.

"....la resolución de problemas es el logro específico de la inteligencia y la inteligencia es el don específico del hombre..." (G.Polya)

Existe gran cantidad de clasificaciones de problemas según sus usos. En cada caso, la duda, incógnita o la familia de incógnitas puede pertenecer a cualquier categoría. Pero existe una cuestión que es absolutamente primordial: el problema debe ser claro, deben estar especificados los niveles de satisfacción y las herramientas de resolución deben ser posibles de encontrar.

En décadas pasadas C. Trejo expresaba:

"...no valen aquellos problemas en que los alumnos deben aplicar meramente estructuras estereotipadas. El niño debe tener interés por el problema para que haga el esfuerzo de comprenderlo, interpretarlo y para ampliar su deseo de solucionarlo. Lo importante es la comprensión y el afán por resolverlo aún cuando no siempre con éxito: siempre se habrá logrado lo primordial, que el niño piense como resolverlo. No perdamos de vista que la auténtica actividad matemática reside en la mente..."."...Un ejemplo: colorear un mapa político de la República Argentina, de manera que dos provincias colindantes tengan distinto color nos obligaría a pensar si los lápices de colores que tengo me serán suficientes, o ¿cuál es el menor número de colores que debo utilizar......"

Podemos detenernos a analizar cada uno de los párrafos de lo expresado por Trejo pero, sí podemos coincidir en lo que hace a la comprensión y la búsqueda del resultado aunque la actividad matemática, para los niños, no solo reside en la mente, también en el uso que de sus conocimientos pueda hacer para solucionar situaciones que le son propias o para el logro de conocimientos ulteriores. Es importante no dejar de otorgarle valor a la heurística y a la rutina resolutiva propia de cada alumnos, a lo que haremos referencia más adelante.

Volviendo a la resolución de problemas como herramienta o estrategia didáctica cabe señalar que, para llegar a esto, habrá que analizar el momento de proponer alguna situación o problema a los alumnos:

Propiciar la participación activa de los alumnos, conscientes de que aprender matemática es hacer matemática. Esto significa invitarlos a participar de la idea.
Innovar tanto en los temas como en el tratamiento de los contenidos.
Proponer cuestiones que puedan ser justificadas tanto en aplicaciones matemáticas como no matemáticas.

Es, en este plano, según Ballester-Nápoles Valdés, donde se comprometen las cuatro funciones esenciales de la resolución de problemas:

La función instructiva, que comprende el sistema de conocimientos acordes con el nivel de aprendizaje;
la función desarrolladora, que abarca el sistema de habilidades intelectuales a lograr;
la función educativa, que involucra la formación de actitudes;
la función de control, pues se concibe al problema como el medio más eficaz para medir el vencimiento de los objetivos.

Por su parte Bertoglia, asevera que la resolución de problemas tiene que atender a cinco principios especiales:

ajustarse a los objetivos del aprendizaje;

reservarse para el momento oportuno;

tener un nivel de complejidad adecuado;

favorecer el trabajo reflexivo;

presentar la información en términos positivos.

Nos referiremos al primer item, ajustarse a los objetivos del aprendizaje. Su elaboración, desarrollo, complejidad y solución deben  ser tales que el proceso para encontrar la solución implique la adquisición del aprendizaje o bien el logro de conocimientos relevantes en el marco de los contenidos propios del ciclo en el cual se ha puesto a consideración el problema. De este principio se infiere la necesidad de llevar la actividad de tal modo que, en términos ideales, todos los alumnos puedan encontrar la solución del problema y que esa solución sea, justamente, en validación e institucionalización, el contenido a trabajar o el puntapié hacia él. En lo que hace al nivel de complejidad, esta no debe exceder las posibilidades del alumno. Está claro que no hacemos referencia a los contenidos poseídos, sino a la capacidad para su adquisición: distinguir entre dificultad y complejidad es lo que marca, justamente, el rol del problema diseñado como herramienta para aprender.

La enseñanza propuesta a través de resolución de problemas tiene algunas ventajas, no excluyentes:

es lo mejor que podemos proporcionar a nuestro niños: la capacidad autónoma para resolver sus propias dificultades;
en el mundo de rápida evolución los procesos efectivos de adaptación a los cambios no se harán obsoletos;
el trabajo se puede hacer más atrayente, satisfactorio, autorrealizador y creativo;
muchos de los hábitos así consolidados tiene un valor que va más allá del mundo de la matemática;
es ilimitado en tiempo y edad.

Pero el párrafo anterior puede llevarnos a resolver problemas por el sólo hecho de resolver, convirtiendo a la clase de matemática en un simple entretenimiento resolutivo sin analizar los conceptos y procedimientos puestos en juego, ni los instrumentos cognitivos correspondientes.

Pero ... ¿cuál es el punto? ¿acaso los problemas no se trabajaron siempre en la escuela?  Sin duda, y desde que la memoria de cualquier adulto lo permita, la resolución de problemas fue un asunto importante en la actividad escolar.  Sin embargo (y una rápida revisión de las propuestas editoriales de la primera mitad del siglo XX lo confirmaría) esos “problemas” fueron planteados como exposiciones de contenidos, ejemplos, ejercicios, ejercicios más complicados, problemas “tipo”, repetición de problemas “tipo”, etc.

La forma, entonces, de un contenido matemático a través de la resolución de problemas podría tener algún procedimiento cercano a lo siguiente:

propuesta de la situación o problema;

manipulación autónoma de los niños;

familiarización con las situaciones y dificultades;

elaboración de estrategias de resolución;

ensayos diversos;

contenidos motivados o herramientas elaboradas por su historia;

elección de estrategias;

posicionarse frente a la situación y tratar de resolverla;

reflexionar sobre el proceso;

obtener generalizaciones, cuando sea posible;

crear y discutir nuevas situaciones;

construir nuevos saberes desarrollando nuevos contenidos;

transferir resultados, métodos e ideas.

Hasta acá hemos tratado de ver algunas concepciones referidas a la resolución de problemas, pero resulta importante fijar la posición según la cual el maestro se posicionará frente a cada situación problemática planteada.

Por un momento, pensemos al problema como una actividad para que los alumnos justifiquen haber aprendido algo y aplicándolo de la mejor manera posible. Es decir, dentro de los cánones clásicos a los que hacíamos referencia párrafos atrás. ¿Cuál sería la postura e intervención del maestro en este modelo de trabajo?

Por otro lado, pensemos en postura e intervención docentes que atienden al modelo en el que el problema es tomado como una herramienta apta para la construcción de nuevos conceptos a partir de los ya adquiridos, familiares para el niño y dignos de ser empleados y manipulados.

En este trabajo adherimos a la segunda de las propuestas, es decir, el problema no como un instrumento de aplicación de lo sabido, sino como herramienta para construir un concepto partiendo de conceptos previos o para completar su elaboración, incluso, gracias a los diferentes abordajes. En resumen: ampliar el sentido justificando al problema como un medio para solucionar situaciones nuevas en contextos diferentes.

Resulta imprescindible recordar a Charnay en "Aprender.........":

Muy esquemáticamente se describen tres modelos de referencia:

  1. El modelo llamado "normativo" (centrado en el contenido)
    Se trata de aportar, de comunicar un saber a los alumnos. La pedagogía es entonces el arte de comunicar, de "hacer pasar" un saber.

  2. -El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos.

    -El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento; luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica.

    -El saber ya está acabado, ya construido.

    Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o mayeúticos (preguntas/respuestas).

  3. El modelo llamado "incitativo" (centrado en el alumno)Al principio se le pregunta al alumno sobre sus intereses, sus motivaciones, sus propias necesidades, su entorno.

  4. -El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, lo remite a herramientas de aprendizaje (fichas), busca una mejor motivación.

    -El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende (a menudo de manera próxima a lo que es la enseñanza programada).

    -El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estructura propia de este saber pasa a un segundo plano).

    Se reconocen allí las diferentes corrientes llamadas "métodos activos".

  5. El modelo llamado "aproximativo" (centrado en la construcción del saber por el alumno).

  6. Se propone partir de "modelos", de concepciones existentes en el alumno y "ponerlas a prueba" para mejorarlas, modificarlas o construir nuevas.

    -El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las diferentes fases (investigación, formulación, validación, institucionalización).

    -Organiza la comunicación de la clase, propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología).

    -El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compañeros, las defiende o las discute.

    -El saber es considerado con su lógica propia.

    Por último pensemos que los problemas matemáticos están para ser resueltos, precisamente este es el rol de la matemática.

    En la medida en que preparemos a nuestros alumnos a pensar independientemente y a utilizar los conocimientos de que disponen habremos desarrollado con éxito nuestra tarea docente.

Cada modelo da origen al criterio para el cual se utilizará la resolución de problemas en el aula:

Modelo normativo: El problema como criterio del aprendizaje
Modelo incitativo: El problema como móvil del aprendizaje
Modelo aproximativo: El problema como recurso de aprendizaje

Al considerar al modelo aproximativo como el objetivo final de la resolución de problemas en el aula, y aceptando que los modelos no siempre se presentan puros y perfectos, la actitud docente debe reflejar el modelo. Por lo tanto habrá etapas en la clase que acompañen el proceso: por un lado, la presentación de la situación generada por el docente o surgida de la propia vivencia del grupo, la gestión organizada por el docente, que lleva a una acción consistente en la búsqueda de procedimientos para resolver. Simplemente, se trata de presentar la situación adecuada a los conocimientos previos de los alumnos, para que sean capaces de hallar un primer camino o intento de resolución. Habrá en el proceso de intento resolutivo formulaciones y confrontaciones de los procedimientos de los alumnos, que el docente, precisamente, incitará para ponerlos a prueba por medio de justificaciones necesarias. El docente, por necesidad de la propia situación o por el objetivo del problema frente al contenido, ingresará nuevas situaciones, simples formulaciones o confrontaciones casuales, que requerirán nuevos procedimientos para sortear esos obstáculos. Posterior a este proceso de validación se hará la institucionalización  de las herramientas utilizadas, los algoritmos, la síntesis de las producciones, los contenidos intervinientes y el saber adquirido.

Para poder utilizar, entonces, el problema como un instrumento, es necesario que el alumno participe en la resolución. Esta resolución, no sólo debe atender a la búsqueda del resultado, sino que se realizará analizando el sentido en que funciona el conocimiento que tiene el contenido y las posibilidades que guarda ese contenido en lo referido a su uso: situaciones distintas en contextos no siempre iguales, situaciones iguales en contextos diferentes, etc.

De la nada, nada se obtiene. El docente tendrá que reconocer el grado de dificultad a presentar, el número y la magnitud de los obstáculos necesarios y apropiados para que sus alumnos hagan pie y con los conocimientos previos disponibles poder trabajar en el problema elegido. En todo momento, tendrá en cuenta la heurística como forma inicial de resolución de toda situación, asumiendo que, experiencias escolares o extra-escolares producen capacidades de resolución que son propias de la especie. El verdadero vértice de su trabajo, será el contenido que desea inferir y allí posicionarse para la validación de los resultados.

Ahora bien, si no se posibilita la explicitación concreta de los procedimientos, resultará imposible la reutilización de  estos procedimientos y de los contenidos implícitos por parte de los alumnos. Abusando de términos broussonianos, lo que noestá institucionalizado, no podrá reinstalarse o reutilizarse para una nueva formulación: si los alumnos de tercer año, no tienen claro que al multiplicar por 10, agregan un 0 al otro factor, mal podremos pedirles que realicen mentalmente 25x30 y considerarlo un planteo problematizador. Nos estaremos limitando a plantear una cuenta que debe "imaginarse en el aire" llevando uno al otro lado y agregando lo que les resulte necesario en la "casita". Disponiendo de la regla, siendo capaz de reutilizarla, les bastará con pensar en el triple de 25 y agregarle, por primera vez y mentalmente, un cero.

Es en este plano que la validación será el resultado de una acción socializadora donde puedan expresarse las distintas posturas y argumentaciones frente a producciones distintas con el simple y meritorio fin de buscar un mismo resultado, que no siempre tendrá el éxito deseado; en tanto la legitimidad de lo obtenido esté en manos del maestro el problema pasará a ser útil en sí mismo pero sin posibilidad alguna de utilizar los procedimientos y las conclusiones para situaciones posteriores, es decir, nada nuevo se habrá producido en el aula.

En el aula

La resolución de problemas no es una propuesta lúdica e informal. Por el contrario, forma parte importante del desarrollo de los contenidos curriculares y el pensamiento matemáticos de los alumnos.

Se trata, entonces, de una herramienta capaz de lograr el equilibrio entre la actividad por la actividad misma, la simple elaboración de conclusiones experimentales y aquellas viejas argumentaciones de que "todo se debe demostrar". Es en la validación de los procedimientos y de los resultados, donde se realiza la verdadera acción matemática; es el momento de la resolución de problemas donde se ponen en juego capacidades, habilidades y competencias y cuando el maestro aproxima o concreta contenidos necesarios y suficientes para la resolución definitiva de la situación planteada.

Veamos como podemos intervenir frente a una situación determinada:

La madre de un alumno debe pagar una deuda de $66 y sólo dispone de billetes de $2 y de $5. ¿Cómo puede hacer para pagar esa deuda con sólo esos billetes sin que le den vuelto alguno?

-Poner a discusión la información. ¿Es completa?¿Es suficiente?, ¿Toda es necesaria?, ¿Interesan los datos?

-En el procedimiento para solucionar el problema se confrontarán mecanismo y se justificarán las mismas destacando los contenidos utilizados.

-¿Hay muchas soluciones? Validamos cada una de esas soluciones.

-Analizamos la operación implícita en la situación.

Obtenida la respuesta reelaboramos el problema indicando que:

...utilizó de ambos billetes y la cantidad de billetes utilizados por la mamá resultó ser un número par.

Si la respuesta se logra podemos proponer que:

...en total la suma de los billetes de $2 y $5 fueron en realidad 18. ¿Cuántos de cada tipo utilizó?

Finalmente, pensemos que los problemas matemáticos están para ser resueltos: precisamente este es el rol de la matemática.

En la medida en que preparemos a nuestros alumnos a pensar independientemente y a utilizar los conocimientos de que disponen, habremos desarrollado con éxito nuestra tarea docente.

Pero a la vez, si como docentes, creamos situaciones que permitan a los alumnos ampliar sus conocimientos y descubrir nuevos contenidos a los que sean capaces de asignar valor significativo, habremos cumplido con el objetivo de trabajar con la resolución de situaciones problemáticas.

Он стал ждать, когда его компьютер разогреется, и Сьюзан занервничала. Что, если Хейл захочет взглянуть на включенный монитор ТРАНСТЕКСТА. Вообще-то ему это ни к чему, но Сьюзан знала, что его не удовлетворит скороспелая ложь о диагностической программе, над которой машина бьется уже шестнадцать часов.

Хейл потребует, чтобы ему сказали правду. Но именно правду она не имела ни малейшего намерения ему открывать.

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